4 sin² x = tg x, x ∈ [−π; 0]

Область допустимых значений: \(\cos x \ne 0\).

Умножим уравнение на \(\cos x\):

\[4\sin^2 x\cos x=\sin x\]

Вынесем \(\sin x\) за скобки:

\[\sin x(4\sin x\cos x-1)=0\]

1. \(\sin x=0\). На отрезке \([-[1m\pi;0]\) получаем:

   \[x=-\pi,\quad x=0\]

2. \(4\sin x\cos x-1=0\):

   \[4\sin x\cos x=1\]

   \[2\sin 2x=1\]

   \[\sin 2x=\frac12\]

   Так как \(x\in[-\pi;0]\), то \(2x\in[-2\pi;0]\). Поэтому:

   \[2x=-\frac{11\pi}{6}\quad или\quad 2x=-\frac{7\pi}{6}\]

   \[x=-\frac{11\pi}{12}\quad или\quad x=-\frac{7\pi}{12}\]

Ответ: \(x\in\left\{-\pi; -\frac{11\pi}{12}; -\frac{7\pi}{12}; 0\right\}\).