4) Решите задачу с помощью системы уравнений. Из двух сел, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 часа.

Решение задачи:

Обозначим скорость первого пешехода как $$v_1$$ (км/ч), а скорость второго пешехода как $$v_2$$ (км/ч).

1. Условие встречи:

Пешеходы вышли навстречу друг другу из сел, расстояние между которыми 20 км, и встретились через 2 часа. Это означает, что сумма расстояний, которые они прошли за это время, равна общему расстоянию между селами.

Расстояние, пройденное первым пешеходом за 2 часа: $$S_1 = v_1 \times 2$$

Расстояние, пройденное вторым пешеходом за 2 часа: $$S_2 = v_2 \times 2$$

Сумма расстояний: $$S_1 + S_2 = 20$$ км

Подставляем: $$2v_1 + 2v_2 = 20$$

Разделим обе части уравнения на 2: $$v_1 + v_2 = 10$$. Это наше первое уравнение.

2. Условие о пройденном расстоянии:

Из условия известно, что первый пешеход за 4 часа проходит на 12 км больше, чем второй пешеход за 3 часа.

Расстояние, пройденное первым пешеходом за 4 часа: $$4v_1$$

Расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 часа: $$3v_2$$

Составляем уравнение: $$4v_1 = 3v_2 + 12$$. Это наше второе уравнение.

3. Решение системы уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ 4v_1 = 3v_2 + 12 \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим $$v_1$$: $$v_1 = 10 - v_2$$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$4(10 - v_2) = 3v_2 + 12$$

$$40 - 4v_2 = 3v_2 + 12$$

Перенесем члены с $$v_2$$ в одну сторону, а числа – в другую:

$$40 - 12 = 3v_2 + 4v_2$$

$$28 = 7v_2$$

Найдем $$v_2$$: $$v_2 = \frac{28}{7} = 4$$ км/ч.

Теперь найдем $$v_1$$, подставив значение $$v_2$$ в первое уравнение ($$v_1 = 10 - v_2$$):

$$v_1 = 10 - 4 = 6$$ км/ч.

4. Проверка:

Скорость первого пешехода: 6 км/ч.

Скорость второго пешехода: 4 км/ч.

Встреча через 2 часа: $$6 \times 2 + 4 \times 2 = 12 + 8 = 20$$ км (верно).

Первый пешеход за 4 часа проходит: $$6 \times 4 = 24$$ км.

Второй пешеход за 3 часа проходит: $$4 \times 3 = 12$$ км.

Разница: $$24 - 12 = 12$$ км (верно).

Ответ: Скорость первого пешехода 6 км/ч, скорость второго пешехода 4 км/ч.