4. Решите уравнение: а) \(\left(\frac{1}{125}\right)^{0.2x+1}=25\); б) \(\log_2(2x-4)=7\); в) \(\log_{\frac17}(2x+5)=\log_{\frac17}6=\log_{\frac17}2\); г) \(\sqrt{x^2-6}=\sqrt{-5x}\); д) \(2\sin x+1=0\). Укажите ближайший к нулю корень в градусах.

а) Представим числа как степени пятёрки: \(\frac1{125}=5^{-3}\), \(25=5^2\).

\[\left(5^{-3}\right)^{0.2x+1}=5^2\Rightarrow -3(0.2x+1)=2.\]

\[-0.6x-3=2\Rightarrow -0.6x=5\Rightarrow x=-\frac{25}{3}.\]

б) По определению логарифма:

\[2x-4=2^7=128\Rightarrow 2x=132\Rightarrow x=66.\]

ОДЗ: \(2x-4>0\), найденное значение подходит.

в) Так как основания логарифмов одинаковы, равенство \(\log_{\frac17}6=\log_{\frac17}2\) означало бы \(6=2\), что невозможно. Следовательно, записанное уравнение решений не имеет.

г) ОДЗ: \(x^2-6\geqslant0\), \(-5x\geqslant0\), поэтому \(x\leqslant-\sqrt6\). Возводим обе части в квадрат:

\[x^2-6=-5x\Rightarrow x^2+5x-6=0.\]

\[(x-1)(x+6)=0\Rightarrow x=1\text{ или }x=-6.\]

ОДЗ удовлетворяет только \(x=-6\).

д)

\[2\sin x+1=0\Rightarrow \sin x=-\frac12.\]

Общее решение в градусах:

\[x=-30^\circ+360^\circ k\quad\text{или}\quad x=210^\circ+360^\circ k,\quad k\in\mathbb Z.\]

Ближайший к нулю корень: \(-30^\circ\).

Ответ: а) \(x=-\frac{25}{3}\); б) \(x=66\); в) решений нет; г) \(x=-6\); д) \(x=-30^\circ+360^\circ k\) или \(x=210^\circ+360^\circ k\), ближайший к нулю корень — \(-30^\circ\).