4. Решите уравнение 2х4 - 7x³ + x² + 7x - 3 = 0.

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Попробуем найти рациональные корни. Если они существуют, то они должны быть делителями свободного члена (-3) и делителями старшего коэффициента (2). Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \).

Проверим \( x = 1 \): \( 2(1)^4 - 7(1)^3 + (1)^2 + 7(1) - 3 = 2 - 7 + 1 + 7 - 3 = 0 \). Значит, \( x = 1 \) — корень.

Проверим \( x = -1 \): \( 2(-1)^4 - 7(-1)^3 + (-1)^2 + 7(-1) - 3 = 2 + 7 + 1 - 7 - 3 = 3 \). Значит, \( x = -1 \) — не корень.

Проверим \( x = 3 \): \( 2(3)^4 - 7(3)^3 + (3)^2 + 7(3) - 3 = 2(81) - 7(27) + 9 + 21 - 3 = 162 - 189 + 9 + 21 - 3 = 10 \). Значит, \( x = 3 \) — не корень.

Проверим \( x = -3 \): \( 2(-3)^4 - 7(-3)^3 + (-3)^2 + 7(-3) - 3 = 2(81) - 7(-27) + 9 - 21 - 3 = 162 + 189 + 9 - 21 - 3 = 345 \). Значит, \( x = -3 \) — не корень.

Проверим \( x = \frac{1}{2} \): \( 2(\frac{1}{2})^4 - 7(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - 7(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} + \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{7}{8} + \frac{2}{8} + \frac{28}{8} - \frac{24}{8} = \frac{1 - 7 + 2 + 28 - 24}{8} = \frac{0}{8} = 0 \). Значит, \( x = \frac{1}{2} \) — корень.

Проверим \( x = -\frac{1}{2} \): \( 2(-\frac{1}{2})^4 - 7(-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2})^2 + 7(-\frac{1}{2}) - 3 = 2(\frac{1}{16}) - 7(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - \frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{2}{8} - \frac{28}{8} - \frac{24}{8} = \frac{1 + 7 + 2 - 28 - 24}{8} = \frac{-42}{8} \). Значит, \( x = -\frac{1}{2} \) — не корень.

Так как \( x=1 \) и \( x=\frac{1}{2} \) — корни, то многочлен делится на \( (x-1) \) и \( (x-\frac{1}{2}) \), а значит, и на \( (x-1)(2x-1) = 2x^2 - 3x + 1 \).

Разделим многочлен \( 2x^4 - 7x^3 + x^2 + 7x - 3 \) на \( 2x^2 - 3x + 1 \):

      x^2 - 2x - 3
____________________
2x^2-3x+1 | 2x^4 - 7x^3 +  x^2 + 7x - 3
        -(2x^4 - 3x^3 +  x^2)
        ____________________
              -4x^3 +  0x^2 + 7x
            -(-4x^3 +  6x^2 - 2x)
            ____________________
                    -6x^2 + 9x - 3
                  -(-6x^2 + 9x - 3)
                  ____________________
                          0

Теперь нужно решить уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).

Найдём дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни: \( x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2} \).

\( x_3 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

\( x_4 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \).

Таким образом, корни уравнения: \( 1, \frac{1}{2}, 3, -1 \).

Ответ: x = 1, x = 1/2, x = 3, x = -1.