4) Решить уравнение \(\log_4 x = \log_4 (2-x)\)

Решение:

Чтобы решить уравнение \(\log_4 x = \log_4 (2-x)\), нужно приравнять аргументы логарифмов, так как основания логарифмов равны.

Уравнение имеет вид \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), что эквивалентно \(f(x) = g(x)\) при условии \(f(x) > 0\) и \(g(x) > 0\).

1. Приравняем аргументы: \( x = 2 - x \)
2. Решим полученное линейное уравнение:
\( x + x = 2 \)
\( 2x = 2 \)
\( x = 1 \)
3. Проверим условие существования логарифмов:
\( x > 0 \) → \( 1 > 0 \) (верно)
\( 2 - x > 0 \) → \( 2 - 1 > 0 \) → \( 1 > 0 \) (верно)
4. Так как оба условия выполнены, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: x = 1.