4. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 27 км. Катер проплывает его по течению реки за 1,5 ч, а против течения за 2 ч 15 мин. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Решение:

Дано:

• Расстояние \( S = 27 \) км.
• Время по течению \( t_1 = 1.5 \) ч.
• Время против течения \( t_2 = 2 \) ч \( 15 \) мин \( = 2.25 \) ч.

Найти:

• Собственную скорость катера \( v_к \) — ?
• Скорость течения реки \( v_т \) — ?

Решение:

1. Обозначим собственную скорость катера как \( v_к \) км/ч, а скорость течения реки как \( v_т \) км/ч.
2. Скорость катера по течению: \( v_{по\text{ } тек} = v_к + v_т \).
3. Скорость катера против течения: \( v_{против\text{ } тек} = v_к - v_т \).
4. Воспользуемся формулой \( S = v × t \), откуда \( v = \frac{S}{t} \).
5. Найдем скорость катера по течению: \( v_к + v_т = \frac{27 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 18 \text{ км/ч} \).
6. Найдем скорость катера против течения: \( v_к - v_т = \frac{27 \text{ км}}{2.25 \text{ ч}} = 12 \text{ км/ч} \).
7. Получили систему уравнений:
   • \( v_к + v_т = 18 \)
   • \( v_к - v_т = 12 \)
8. Сложим оба уравнения системы: \( (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 18 + 12 \) \( 2v_к = 30 \) \( v_к = 15 \) км/ч.
9. Подставим найденное значение \( v_к \) в первое уравнение: \( 15 + v_т = 18 \) \( v_т = 18 - 15 = 3 \) км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера — 15 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.