№ 4. Постройте равносторонний треугольник АВС и проведите биссектрисы углов, затем впишите туда окружность.

Пошаговое построение:

• Шаг 1: Построение равностороннего треугольника ABC.
• • Проведите отрезок AB произвольной длины.
  • Из точки A проведите дугу окружности с радиусом AB.
  • Из точки B проведите дугу окружности с радиусом AB.
  • Точка пересечения дуг — это вершина C. Соедините точки A, B и C.
• Шаг 2: Построение биссектрис углов.
• • Для построения биссектрисы угла A:
  • Из вершины A проведите дугу, пересекающую стороны AB и AC в точках M и N соответственно.
  • Из точек M и N проведите дуги, пересекающиеся в точке P внутри угла A.
  • Соедините вершину A с точкой P. Отрезок AP — биссектриса угла A.
  • Аналогично постройте биссектрисы углов B и C.
• Шаг 3: Вписывание окружности.
• • Точка пересечения трех биссектрис является центром вписанной окружности (центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Обозначим эту точку как O.
  • Из центра O проведите перпендикуляр к одной из сторон треугольника (например, к стороне AB). Длина этого перпендикуляра будет радиусом вписанной окружности.
  • Постройте окружность с центром O и найденным радиусом. Эта окружность будет касаться всех трех сторон треугольника ABC.

Примечание:

• В равностороннем треугольнике биссектрисы углов также являются медианами и высотами. Центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности и точкой пересечения медиан (центроидом).