4. Постройте график функции у = х² – 5x + 6. а) найдите наибольшее значение функции б) Промежутки убывания функции.

Решение:

Дан квадратный трехчлен \( y = x^2 - 5x + 6 \). График данной функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (положительный).

а) Наибольшее значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция не имеет наибольшего значения, она стремится к \( +\infty \).

б) Промежутки убывания функции

Чтобы найти промежутки убывания, определим вершину параболы. Координата \( x \) вершины находится по формуле: \( x_в = -\frac{b}{2a} \).

В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = -5 \), поэтому:

\[ x_в = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает при \( x \) меньше координаты \( x \) вершины.

Следовательно, промежуток убывания:

\[ (-\infty; 2.5] \]

Чтобы построить график, найдем точки пересечения с осями координат и вершину:

• Вершина: \( x_в = 2.5 \). Найдем \( y_в \): \( y_в = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \). Вершина находится в точке (2.5, -0.25).
• Пересечение с осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 \). Точка (0, 6).
• Пересечение с осью Ox: Решим уравнение \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \). \( x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \). Точки (2, 0) и (3, 0).

Ответ: а) Наибольшего значения функция не имеет. б) Промежуток убывания: \( (-\infty; 2.5] \).