4. По склону горы длиной 500 м скатываются санки массой 60 кг с высоты 10 м. Определите среднюю силу сопротивления при скатывании санок, если у основания горы они имели скорость 8 м/с. Начальная скорость санок равна нулю.

Дано:

• Масса санок: $$m = 60 \text{ кг}$$
• Высота горы: $$h = 10 \text{ м}$$
• Длина склона: $$L = 500 \text{ м}$$
• Конечная скорость: $$v = 8 \text{ м/с}$$
• Начальная скорость: $$v_0 = 0 \text{ м/с}$$

Найти:

• Средняя сила сопротивления: $$F_{сопр}$$

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии с учетом работы силы сопротивления.

Начальная энергия (полная) санок находится на вершине горы. Она состоит из потенциальной энергии:

• $$E_{нач} = E_{p.нач} = mgh$$

Конечная энергия (полная) санок у основания горы состоит из кинетической энергии:

• $$E_{кон} = E_{k.кон} = \frac{1}{2}mv^2$$

Работа, совершаемая силой сопротивления, отрицательна и равна:

• $$A_{сопр} = -F_{сопр} \times L$$

Согласно обобщенному закону сохранения энергии, изменение полной энергии системы равно работе внешних сил (в данном случае силы сопротивления):

• $$E_{кон} - E_{нач} = A_{сопр}$$
• $$\frac{1}{2}mv^2 - mgh = -F_{сопр} \times L$$

Теперь выразим силу сопротивления $$F_{сопр}$$:

• $$F_{сопр} \times L = mgh - \frac{1}{2}mv^2$$
• $$F_{сопр} = \frac{mgh - \frac{1}{2}mv^2}{L}$$

Подставим числовые значения:

• $$F_{сопр} = \frac{(60 \text{ кг} \times 9.8 \text{ м/с}^2 \times 10 \text{ м}) - \frac{1}{2} \times 60 \text{ кг} \times (8 \text{ м/с})^2}{500 \text{ м}}$$

Сначала рассчитаем работу силы тяжести:

• $$mgh = 60 \times 9.8 \times 10 = 5880 \text{ Дж}$$

Теперь рассчитаем конечную кинетическую энергию:

• $$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 60 \times 8^2 = 30 \times 64 = 1920 \text{ Дж}$$

Теперь подставим эти значения в формулу для $$F_{сопр}$$:

• $$F_{сопр} = \frac{5880 \text{ Дж} - 1920 \text{ Дж}}{500 \text{ м}}$$
• $$F_{сопр} = \frac{3960 \text{ Дж}}{500 \text{ м}}$$
• $$F_{сопр} = 7.92 \text{ Н}$$

Ответ: 7.92 Н