4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?

Задание 4. Скорость поезда

Давай разберёмся с этой задачей по шагам:

Дано:

• Задержка поезда: \( t_{задержки} = 16 \) мин.
• Расстояние: \( S = 80 \) км.
• Увеличение скорости: \( \Delta v = 10 \) км/ч.

Найти:

Скорость поезда по расписанию \( v_{рассп} \).

Решение:

Для начала переведём время задержки в часы:

\( 16 \text{ мин} = \frac{16}{60} \text{ ч} = \frac{4}{15} \text{ ч} \).

Пусть \( v_{рассп} \) — скорость поезда по расписанию (в км/ч).

Тогда время движения по расписанию было бы \( t_{рассп} = \frac{S}{v_{рассп}} = \frac{80}{v_{рассп}} \) часов.

Скорость, с которой поезд ехал фактически (чтобы нагнать опоздание), была \( v_{факт} = v_{рассп} + 10 \) км/ч.

Время, которое поезд ехал фактически, было \( t_{факт} = \frac{S}{v_{факт}} = \frac{80}{v_{рассп} + 10} \) часов.

Разница между фактическим временем движения и временем по расписанию равна времени задержки:

\( t_{рассп} - t_{факт} = t_{задержки} \)

Подставим наши выражения:

\[ \frac{80}{v_{рассп}} - \frac{80}{v_{рассп} + 10} = \frac{4}{15} \]

Теперь решаем это уравнение:

1. Приведём к общему знаменателю левую часть:

\[ \frac{80(v_{рассп} + 10) - 80v_{рассп}}{v_{рассп}(v_{рассп} + 10)} = \frac{4}{15} \]

\[ \frac{80v_{рассп} + 800 - 80v_{рассп}}{v_{рассп}^2 + 10v_{рассп}} = \frac{4}{15} \]

\[ \frac{800}{v_{рассп}^2 + 10v_{рассп}} = \frac{4}{15} \]

2. Кросс-умножение:

\[ 800 \cdot 15 = 4(v_{рассп}^2 + 10v_{рассп}) \]

\[ 12000 = 4v_{рассп}^2 + 40v_{рассп} \]

3. Разделим всё на 4:

\[ 3000 = v_{рассп}^2 + 10v_{рассп} \]

4. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_{рассп}^2 + 10v_{рассп} - 3000 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давайте по теореме Виета: нам нужно найти два числа, произведение которых равно -3000, а сумма равна -10.

Подбираем числа. Например, 50 и 60. Если \( v_1 = -60 \) и \( v_2 = 50 \), то \( v_1 + v_2 = -10 \) и \( v_1 \cdot v_2 = -3000 \).

Так как скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

\( v_{рассп} = 50 \) км/ч.

Проверка:

Время по расписанию: \( t_{рассп} = \frac{80}{50} = 1.6 \) часа.

Фактическая скорость: \( v_{факт} = 50 + 10 = 60 \) км/ч.

Фактическое время: \( t_{факт} = \frac{80}{60} = \frac{4}{3} \) часа.

Разница во времени: \( 1.6 - \frac{4}{3} = \frac{8}{5} - \frac{4}{3} = \frac{24 - 20}{15} = \frac{4}{15} \) часа. Это соответствует 16 минутам. Всё верно!

Ответ: Скорость поезда по расписанию была 50 км/ч.