4. Отрезки BN и ED пересекаются в их середине. Докажите, что EN || BD.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: \( \triangle EBN \) и \( \triangle DBЕ \).

1. BN = ED (по условию).
2. EN = BD (по условию).
3. NB = DE (по условию).
4. ∠BEN = ∠DBE (накрест лежащие углы при параллельных прямых EN и BD и секущей BE).
5. ∠BNE = ∠BED (накрест лежащие углы при параллельных прямых BN и ED и секущей BE).
6. ∠ENB = ∠DBE (накрест лежащие углы при параллельных прямых EN и BD и секущей BE).

Способ 1: По двум сторонам и углу между ними.

1. BN = ED (по условию).
2. ∠1 = ∠2 (вертикальные углы, где ∠1 — угол между BN и EN, ∠2 — угол между ED и BD).
3. NE = BD (по условию).
4. Так как \( \triangle EBN \) и \( \triangle DBE \) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), то соответствующие углы равны.
5. \( \angle BEN = \angle DBE \). Это накрест лежащие углы при прямых EN и BD и секущей BE.
6. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, \( EN \parallel BD \).

Способ 2: По трем сторонам.

1. BN = ED (по условию).
2. EN = BD (по условию).
3. NB = DE (по условию).
4. Так как \( \triangle EBN \) и \( \triangle DBE \) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), то соответствующие углы равны.
5. \( \angle BEN = \angle DBE \). Это накрест лежащие углы при прямых EN и BD и секущей BE.
6. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, \( EN \parallel BD \).

Ответ: Доказано.