4. Отрезки АВ и МР - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника АОМ, если известно, что РВ = 9 см, АВ = 12 см.

Задание 4. Окружность и треугольник

Дано:

• Окружность с центром О.
• AB и MP — диаметры.
• PB = 9 см.
• AB = 12 см.

Найти: Периметр треугольника AOM.

Решение:

1. Так как AB — диаметр, радиус окружности OA = OB = OP = OM = AB / 2 = 12 / 2 = 6 см.
2. В треугольнике AOM стороны OA и OM являются радиусами, поэтому OA = OM = 6 см.
3. Нам нужно найти длину стороны AM.
4. Рассмотрим треугольник POB. OP и OB — радиусы, значит, OP = OB = 6 см. Треугольник POB — равнобедренный.
5. Угол POB и угол AOM — вертикальные, следовательно, они равны.
6. Найдем угол POB. В треугольнике POB: OB = 6 см, OP = 6 см, PB = 9 см.
7. По теореме косинусов в треугольнике POB: \( PB^2 = OP^2 + OB^2 - 2 \cdot OP \cdot OB \cdot \cos(\angle POB) \)
8. \( 9^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(\angle POB) \)
9. \( 81 = 36 + 36 - 72 \cdot \cos(\angle POB) \)
10. \( 81 = 72 - 72 \cdot \cos(\angle POB) \)
11. \( 81 - 72 = -72 \cdot \cos(\angle POB) \)
12. \( 9 = -72 \cdot \cos(\angle POB) \)
13. \( \cos(\angle POB) = \frac{9}{-72} = -\frac{1}{8} \)
14. Так как угол AOM равен углу POB, то \( \cos(\angle AOM) = -\frac{1}{8} \).
15. Теперь найдем сторону AM в треугольнике AOM, используя теорему косинусов:
16. \( AM^2 = OA^2 + OM^2 - 2 \cdot OA \cdot OM \cdot \cos(\angle AOM) \)
17. \( AM^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{8}) \)
18. \( AM^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{8}) \)
19. \( AM^2 = 72 + 9 = 81 \)
20. \( AM = \sqrt{81} = 9 \) см.
21. Периметр треугольника AOM = OA + OM + AM = 6 + 6 + 9 = 21 см.

Ответ: 21 см.