4. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Для нахождения объёма пирамиды нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. Формула объёма пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \).

1. Найдём площадь основания:
   Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной \( a = 4 \) см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]
   Подставим значение стороны: \[ S_{осн} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
2. Найдём высоту пирамиды:
   Дан угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен \( \alpha = 45^{\circ} \). Пусть \( L \) — длина бокового ребра, а \( H \) — высота пирамиды. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, боковым ребром и отрезком, соединяющим вершину основания с проекцией вершины пирамиды на основание (центром правильного треугольника), этот угол является одним из острых углов. Проекция бокового ребра на основание — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности \( R \) (центр правильного треугольника) равен: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см} \]Теперь найдём высоту \( H \) используя тангенс угла \( \alpha \): \[ \text{tg} \alpha = \frac{H}{R} \]
   \[ H = R \cdot \text{tg} \alpha = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \text{tg} 45^{\circ} \]
   Поскольку \( \text{tg} 45^{\circ} = 1 \), получаем: \[ H = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ см} \]
3. Вычислим объём пирамиды:
   \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} \]
   \[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 = \frac{16}{3} \text{ см}^3 \]

Ответ: \( \frac{16}{3} \) см³.