4. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС, где \( AC = 10 \) см — основание, а \( AB = BC = 13 \) см — боковые стороны.

Проведем высоту \( BK \) к основанию \( AC \). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому \( K \) — середина \( AC \).

\( AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BKC \).

По теореме Пифагора найдем высоту \( BK \):

\( BK^2 = BC^2 - KC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \).

\( BK = \sqrt{144} = 12 \) см.

Теперь рассмотрим угол между боковой стороной \( BC \) и высотой \( BK \). Этот угол — \( \angle CBK \).

В прямоугольном треугольнике \( BKC \):

Синус угла \( CBK \):

\( \sin(\angle CBK) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{KC}{BC} = \frac{5}{13} \).

Косинус угла \( CBK \):

\( \cos(\angle CBK) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BK}{BC} = \frac{12}{13} \).

Тангенс угла \( CBK \):

\( \text{tg}(\angle CBK) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{KC}{BK} = \frac{5}{12} \).

Котангенс угла \( CBK \):

\( \text{ctg}(\angle CBK) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{BK}{KC} = \frac{12}{5} \).

Ответ: Синус угла равен \( \frac{5}{13} \), косинус — \( \frac{12}{13} \), тангенс — \( \frac{5}{12} \), котангенс — \( \frac{12}{5} \).