4. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 16. Найдите объем цилиндра.

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра \( h \) и диаметру основания \( d \). По условию это квадрат, значит \( h = d \).

Диагональ квадрата \( d_{кв} \) равна \( d_{кв} = a×√{2} \), где \( a \) — сторона квадрата. В нашем случае \( a = h = d \).

1. Найдем сторону квадрата (диаметр основания и высоту цилиндра): \[ 16 = d \sqrt{2} \] \[ d = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \] см.
2. Так как \( h = d \), то \( h = 8\sqrt{2} \) см.
3. Найдем радиус основания: \( r = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.
4. Вычислим объем цилиндра по формуле \( V = π r^2 h \): \[ V = \pi (4\sqrt{2})^2 (8\sqrt{2}) \] \[ V = \pi (16 \u00D7 2) (8\sqrt{2}) \] \[ V = \pi (32) (8\sqrt{2}) \] \[ V = 256\sqrt{2}\pi \] см³.

Ответ: \( 256\sqrt{2}\pi \) см³.