4. Окружность вписана в треугольник ABC, М, К и Р — точки ее касания со сторонами. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону ВС.

Решение:

На рисунке изображена окружность, вписанная в треугольник ABC. Точки касания окружности со сторонами треугольника обозначены как P (на стороне AB), K (на стороне BC) и M (на стороне AC).

Из свойств касательных, проведенных из одной точки к окружности, следует, что отрезки касательных равны:

• AP = AK = 9 (по условию, точка P на AB, точка K на BC, но на рисунке обозначено AP=9, PK=3, KC=5, CM=?)
• BP = BK
• CK = CM

В условии есть несоответствие между текстом и рисунком. Предположим, что на рисунке указаны следующие длины отрезков касательных:

• AP = 9
• BP = 3
• BK = 3
• CK = 5
• CM = 5
• AM = 9

Если принять эти значения, то:

• Сторона AB = AP + PB = 9 + 3 = 12
• Сторона AC = AM + MC = 9 + 5 = 14
• Сторона BC = BK + KC = 3 + 5 = 8

Однако, на рисунке точки касания обозначены как P, K, M. И указаны длины: AP=9, PB=3, BK=3, KC=5. Точки касания соответствуют сторонам: P на AB, K на BC, M на AC.

Тогда:

• AP = 9
• BP = 3
• BK = BP = 3
• CK = 5
• CM = CK = 5
• AM = AP = 9

Сторона BC состоит из отрезков BK и KC:

\( BC = BK + KC \)

Подставляем значения из рисунка:

\( BC = 3 + 5 = 8 \) см.

Ответ: 8 см.