№4. Около ДАВС описана окружность с центром в точке О. ∠AOC = 120°, ∠AOB = 104°. Чему равна градусная мера ∠BAC?

Решение:

Центральный угол, опирающийся на дугу AC, равен \( \angle AOC = 120^{\circ} \).

Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle AOB = 104^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) является вписанным и опирается на дугу BC.

Найдем градусную меру дуги BC. Дуга BC может быть найдена как сумма или разность дуг AC и AB, в зависимости от их расположения. Предположим, что точки A, B, C расположены на окружности так, что дуга AC и дуга AB не перекрываются полностью.

Вариант 1: Точка B лежит между дугой AC.

В этом случае \( \angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 120^{\circ} - 104^{\circ} = 16^{\circ} \).

Тогда вписанный угол \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 16^{\circ} = 8^{\circ} \).

Вариант 2: Точка A лежит между дугами OC и OB.

В этом случае \( \angle BOC = \angle AOC + \angle AOB = 120^{\circ} + 104^{\circ} = 224^{\circ} \). Этот угол является тупым, и нам нужна меньшая дуга BC.

Меньшая дуга BC = \( 360^{\circ} - 224^{\circ} = 136^{\circ} \).

Тогда вписанный угол \( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 136^{\circ} = 68^{\circ} \).

Вариант 3: Точка C лежит между дугой OA и OB.

В этом случае \( \angle AOC = \angle AOB - \angle COB \) или \( \angle AOB = \angle AOC + \angle COB \).

Если \( \angle AOB = 104^{\circ} \) и \( \angle AOC = 120^{\circ} \), это невозможно, так как \( 104^{\circ} < 120^{\circ} \).

Вариант 4: Точка A лежит на дуге, которую отсекают точки B и C, и мы рассматриваем центральные углы, исходящие из одной точки.

Тогда дуга BC = \( \text{дуга } AC + \text{дуга } AB \) или \( \text{дуга } BC = |\text{дуга } AC - \text{дуга } AB| \).

Вариант 5: Углы AOC и AOB даны как центральные.

Дуга BC = \( 360^{\circ} - (120^{\circ} + 104^{\circ}) = 360^{\circ} - 224^{\circ} = 136^{\circ} \).

Вписанный угол \( \angle BAC \) равен половине дуги BC.

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{ дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 136^{\circ} = 68^{\circ} \).

Если же точки A, B, C расположены так, что угол BOC = |AOC - AOB|, то

\( \text{дуга } BC = |120^{\circ} - 104^{\circ}| = 16^{\circ} \).

\( \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 16^{\circ} = 8^{\circ} \).

Без рисунка возможны оба варианта. Однако, в стандартных задачах, если не указано иное, предполагается, что углы откладываются от общей вершины.

Предположим, что B находится на дуге AC.

\( \text{Дуга } AC = 120^{\circ} \)

\( \text{Дуга } AB = 104^{\circ} \)

\( \text{Дуга } BC = \text{Дуга } AC - \text{Дуга } AB = 120^{\circ} - 104^{\circ} = 16^{\circ} \).

Вписанный угол \( \text{\angle BAC} \) опирается на дугу BC.

\( \text{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{ Дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 16^{\circ} = 8^{\circ} \).

Если же C находится на дуге AB.

\( \text{Дуга } AB = 104^{\circ} \)

\( \text{Дуга } AC = 120^{\circ} \) (это означает, что C находится на большей дуге AB)

\( \text{Дуга } CB = \text{Дуга } AB - \text{Дуга } AC = 104^{\circ} - 120^{\circ} \) (невозможно, т.к. дуга не может быть отрицательной)

Следовательно, более вероятный сценарий:

\( \text{Дуга } BC = 360^{\circ} - (120^{\circ} + 104^{\circ}) = 360^{\circ} - 224^{\circ} = 136^{\circ} \)

\( \text{\angle BAC} = \frac{1}{2} \text{ Дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 136^{\circ} = 68^{\circ} \).

Ответ: 68°.