4. Найти первообразную для функции $$f(x)=7+5x+3x^2$$ график которой проходит через точку М (1; 3)

Решение:

Первообразная функции \(f(x) = 7 + 5x + 3x^2\) находится путём интегрирования:

\[ F(x) = \int (7 + 5x + 3x^2) dx = 7x + \frac{5x^2}{2} + \frac{3x^3}{3} + C = 7x + \frac{5}{2}x^2 + x^3 + C \]

где \(C\) — константа интегрирования.

Мы знаем, что график первообразной проходит через точку \(M(1; 3)\). Это значит, что при \(x = 1\) значение функции \(F(x) = 3\).

Подставим эти значения в уравнение первообразной:

\[ 3 = 7(1) + \frac{5}{2}(1)^2 + (1)^3 + C \]

\[ 3 = 7 + \frac{5}{2} + 1 + C \]

\[ 3 = 8 + \frac{5}{2} + C \]

\[ C = 3 - 8 - \frac{5}{2} = -5 - \frac{5}{2} = -\frac{10}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{15}{2} \]

Таким образом, искомая первообразная:

\[ F(x) = 7x + \frac{5}{2}x^2 + x^3 - \frac{15}{2} \]

Ответ: \(F(x) = x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 7x - \frac{15}{2}\).