4. Найти общее решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения y" - 6 y' + 25 y = 0

Решение:

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: \( y'' - 6y' + 25y = 0 \).

Составим характеристическое уравнение: \( k^2 - 6k + 25 = 0 \).

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 36 - 100 = -64 \]

Так как \( D < 0 \), корни характеристического уравнения комплексные.

Найдем корни по формуле:

\[ k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{6 \pm 8i}{2} \]

Корни равны:

\[ k_1 = 3 + 4i \]
\[ k_2 = 3 - 4i \]

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с комплексными корнями имеет вид:

\[ y = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \]

Где \( \alpha = 3 \) и \( \beta = 4 \).

Подставим найденные значения \( \alpha \) и \( \beta \) в формулу общего решения:

\[ y = e^{3x} (C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)) \]

Ответ: \( y = e^{3x} (C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)) \).