4. Найдите значение выражения cos111°-2sin159° + cos 450° sin 21°

Задание 4. Вычисление значения выражения

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами тригонометрических функций и формулами приведения.

Выражение: \( \frac{\cos(111^{\circ}) - 2\sin(159^{\circ}) + \cos(450^{\circ})}{\sin(21^{\circ})} \)

1. Преобразуем \( \cos(111^{\circ}) \):

\( \cos(111^{\circ}) = \cos(90^{\circ} + 21^{\circ}) = -\sin(21^{\circ}) \) (по формуле приведения).

2. Преобразуем \( \sin(159^{\circ}) \):

\( \sin(159^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 21^{\circ}) = \sin(21^{\circ}) \) (по формуле приведения).

3. Преобразуем \( \cos(450^{\circ}) \):

\( \cos(450^{\circ}) = \cos(360^{\circ} + 90^{\circ}) = \cos(90^{\circ}) = 0 \).

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

\[ \frac{-\sin(21^{\circ}) - 2\sin(21^{\circ}) + 0}{\sin(21^{\circ})} \]

5. Упростим числитель:

\[ \frac{-3\sin(21^{\circ})}{\sin(21^{\circ})} \]

6. Сократим \( \sin(21^{\circ}) \):

\[ -3 \]

Ответ: -3