4. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (a_n), если a_3 = -98, a_11 = -5.

Решение:

1. Найдём разность арифметической прогрессии \(d\). Используем формулу \( a_n = a_m + d(n-m) \).
2. Подставим известные значения: \( a_{11} = a_3 + d(11-3) \).
3. \( -5 = -98 + 8d \)
4. \( 8d = -5 + 98 \)
5. \( 8d = 93 \)
6. \( d = \frac{93}{8} = 11.625 \)
7. Найдём первый член прогрессии \(a_1\), используя формулу \( a_n = a_1 + d(n-1) \).
8. \( a_3 = a_1 + d(3-1) \)
9. \( -98 = a_1 + 11.625 \cdot 2 \)
10. \( -98 = a_1 + 23.25 \)
11. \( a_1 = -98 - 23.25 = -121.25 \)
12. Найдём сумму двадцати первых членов прогрессии по формуле \( S_n = \frac{2n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \).
13. \( S_{20} = \frac{2 \cdot 20}{2} (2 \cdot (-121.25) + (20-1) \cdot 11.625) \)
14. \( S_{20} = 20 (-242.5 + 19 \cdot 11.625) \)
15. \( S_{20} = 20 (-242.5 + 220.875) \)
16. \( S_{20} = 20 (-21.625) \)
17. \( S_{20} = -432.5 \)

Ответ: S_{20} = -432.5