4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

a) \( y = -x^2 - 2x + 8 \) и осью ОХ ( \( y = 0 \)).

1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ, приравняв \( y = 0 \):
   \( -x^2 - 2x + 8 = 0 \)
   \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)
   \( (x+4)(x-2) = 0 \)
   \( x_1 = -4 \), \( x_2 = 2 \)
2. Площадь фигуры можно найти как интеграл от функции \( y = -x^2 - 2x + 8 \) по промежутку от \( -4 \) до \( 2 \), так как ветви параболы направлены вниз, и на этом промежутке \( y > 0 \).
   \( S = \int_{-4}^{2} (-x^2 - 2x + 8) dx \)
3. Вычислим интеграл:
   \( S = \left[-\frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right]_{-4}^{2} \)
   \( S = \left(-\frac{2^3}{3} - 2^2 + 8 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-4)^3}{3} - (-4)^2 + 8 \cdot (-4)\right) \)
   \( S = \left(-\frac{8}{3} - 4 + 16\right) - \left(-\frac{-64}{3} - 16 - 32\right) \)
   \( S = \left(-\frac{8}{3} + 12\right) - \left(\frac{64}{3} - 48\right) \)
   \( S = \frac{-8 + 36}{3} - \frac{64 - 144}{3} \)
   \( S = \frac{28}{3} - \frac{-80}{3} \)
   \( S = \frac{28 + 80}{3} = \frac{108}{3} = 36 \)

б) \( y = x^2 + 2 \) и \( y = 11 \).

1. Найдем точки пересечения двух функций:
   \( x^2 + 2 = 11 \)
   \( x^2 = 9 \)
   \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 3 \)
2. Площадь фигуры находится как интеграл разности верхней и нижней функций по промежутку от \( -3 \) до \( 3 \). Верхняя функция — \( y = 11 \), нижняя — \( y = x^2 + 2 \).
   \( S = \int_{-3}^{3} (11 - (x^2 + 2)) dx \)
   \( S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx \)
3. Вычислим интеграл:
   \( S = \left[9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} \)
   \( S = \left(9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3}\right) - \left(9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3}\right) \)
   \( S = \left(27 - \frac{27}{3}\right) - \left(-27 - \frac{-27}{3}\right) \)
   \( S = (27 - 9) - (-27 + 9) \)
   \( S = 18 - (-18) = 18 + 18 = 36 \)

Ответ: a) 36; б) 36.