4. Найдите основание АС равнобедренного треугольника АВС, если биссектриса AD = 10 дм и BD=10 дм.

Решение:

В равнобедренном треугольнике АВС основанием является сторона АС. Биссектриса AD проведена к основанию. Известно, что биссектриса AD = 10 дм и отрезок BD = 10 дм.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию, состоит в том, что она является также медианой и высотой. Это значит, что она делит основание пополам и перпендикулярна ему.

Однако, в данном условии биссектриса AD проведена к боковой стороне BC, а не к основанию AC. По условию AD является биссектрисой, т.е. $$\angle BAD = \angle CAD$$. Также нам дано, что $$BD = 10$$ дм.

Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть две стороны $$AD=10$$ дм и $$BD=10$$ дм. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным с основанием AB.

Теперь вспомним, что треугольник ABC равнобедренный, а значит, его боковые стороны равны: $$AB = BC$$.

Так как $$AB = BC$$, и $$BC = BD + DC$$, то $$AB = BD + DC$$.

Из условия, что $$AB = BD$$ (т.к. $$\triangle ABD$$ равнобедренный), и $$AB = BC$$, следует, что $$BD = BC$$.

Если $$BD = BC$$, то точка D совпадает с точкой C, что невозможно, так как AD - биссектриса, а D лежит на стороне BC.

По теореме о биссектрисе в треугольнике ABC:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$

Также, поскольку $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием AC, то $$AB = BC$$.

Из условия $$\triangle ABD$$ равнобедренный ($$AD = BD = 10$$), имеем $$\angle BAD = \angle ABD$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием AC, то $$\angle BAC = \angle BCA$$.

В $$\triangle ABC$$: $$\angle ABC = \angle ABD$$.

Поскольку $$\triangle ABD$$ равнобедренный, $$\angle BAD = \angle ABD$$.

Если $$\angle BAD = \angle ABD$$, то $$\angle BAC = \angle ABC$$.

В $$\triangle ABC$$ сумма углов равна 180°:

$$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180°$$.

Так как $$\angle BAC = \angle ABC$$, и $$\angle BAC = \angle BCA$$, то все углы равны:

$$\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 180° / 3 = 60°$$.

Следовательно, $$\triangle ABC$$ является равносторонним.

Если $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AB = BC = AC$$.

Так как $$\triangle ABD$$ равнобедренный ($$AD = BD = 10$$), а $$\angle ABD = 60°$$, то $$\triangle ABD$$ является равносторонним. Следовательно, $$AB = BD = AD = 10$$ дм.

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то $$AC = AB = 10$$ дм.

Ответ: 10 дм.