4. Найдите длину неизвестного отрезка x на рисунке.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Отрезок CD является высотой, опущенной на гипотенузу AB. Нам даны длины отрезков AD = 16 и BD = 12. Нам нужно найти длину отрезка CD, обозначенного как x.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу. Это следует из подобия треугольников:

\( \triangle ADC \thicksim \triangle CDB \)

Следовательно:

\[ \frac{CD}{AD} = \frac{BD}{CD} \]

\( CD^2 = AD · BD \)

Подставим известные значения:

\[ x^2 = 16 · 12 \]

\[ x^2 = 192 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ x = \sqrt{192} \]

Разложим 192 на множители:

\[ 192 = 64 · 3 \]

\[ x = \sqrt{64 · 3} = \sqrt{64} · \sqrt{3} = 8\sqrt{3} \]

Таким образом, длина неизвестного отрезка x равна \( 8\sqrt{3} \).

Ответ: \( x = 8\sqrt{3} \).