4. На рисунке СК = 5 см, КD = 10 см, АК:КВ=1:2. Найдите длину хорды АВ.

Задание 4. Хорда AB

Дано:

• Отрезок СК = 5 см.
• Отрезок КD = 10 см.
• Отношение АК:КВ = 1:2.

Найти: длину хорды АВ.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о произведениях отрезков пересекающихся хорд. В данной задаче у нас пересекаются хорды CD и AB в точке K.

1. Запишем теорему: Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В нашем случае: \[ AK \cdot KB = CK \cdot KD \]
2. Найдём произведения отрезков хорды CD: \[ CK \cdot KD = 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}^2 \]
3. Обозначим отрезки хорды AB: Пусть AK = \( x \) см. Так как АК:КВ = 1:2, то KB = \( 2x \) см.
4. Подставим в уравнение теоремы: \( x \cdot 2x = 50 \)
5. Решим полученное уравнение: \( 2x^2 = 50 \)
6. Разделим обе части на 2: \( x^2 = 25 \)
7. Найдём x (длину отрезка AK): \( x = \sqrt{25} = 5 \) см.
8. Найдём длину отрезка KB: \( KB = 2x = 2 \cdot 5 = 10 \) см.
9. Найдём длину хорды AB: \( AB = AK + KB \)
10. Подставим значения: \( AB = 5 \text{ см} + 10 \text{ см} = 15 \) см.

Ответ: длина хорды АВ равна 15 см.