4. На рисунке окружность вписана в треугольник АВС, М, К и Р — точки касания со сторонами. Найдите сторону ВС, если известно, что периметр треугольника равен 60, AP = 8.

Задание 4. Сторона треугольника

Дано:

• Окружность вписана в треугольник АВС.
• М, К, Р — точки касания со сторонами ВС, АС, АВ соответственно.
• Периметр треугольника АВС: P = 60.
• AP = 8.

Найти: сторону ВС.

Решение:

1. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
2. Таким образом, AP = AK = 8.
3. Также, BP = BR и CM = CK.
4. Периметр треугольника ABC равен сумме длин всех его сторон: \[ P = AB + BC + AC \]
5. Мы знаем, что AB = AP + PB, AC = AK + KC, BC = BR + RC.
6. Из равенства отрезков касательных:
   • AB = 8 + PB
   • AC = 8 + CM
   • BC = PB + CM (так как BR=PB и CK=CM)
7. Подставим это в формулу периметра: \[ P = (8 + PB) + (PB + CM) + (8 + CM) = 16 + 2 · PB + 2 · CM \]
8. Мы знаем, что P = 60, поэтому: \[ 60 = 16 + 2 · PB + 2 · CM \]
9. Вычтем 16 из обеих частей: \[ 44 = 2 · PB + 2 · CM \]
10. Разделим на 2: \[ 22 = PB + CM \]
11. Теперь вспомним, что сторона BC равна сумме отрезков PB и CM: \[ BC = PB + CM \]
12. Следовательно, BC = 22.

Ответ: Сторона ВС равна 22.