4. На рис. 159 CD = 18 см. Найдите AD.

Решение:

Рассмотрим треугольник BCD. Из условия задачи известно, что \(\angle BDC = 90^{\circ}\) (прямой угол обозначен квадратом), \( CD = 18 \text{ см} \) и \(\angle CBD = 30^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Следовательно, \( \text{tg}(\angle CBD) = \frac{CD}{BC} \).

Подставим известные значения: \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{18}{BC} \).

Мы знаем, что \( \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Таким образом, \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18}{BC} \).

Отсюда найдём длину отрезка BC: \( BC = 18 \cdot \sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из условия задачи известно, что \(\angle ACB = 90^{\circ}\), \(\angle ABC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\), а \( BC = 18 \sqrt{3} \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла \(\angle ABC\) равен отношению противолежащего катета AC к прилежащему катету BC: \( \text{tg}(\angle ABC) = \frac{AC}{BC} \).

Подставим известные значения: \( \text{tg}(60^{\circ}) = \frac{AC}{18\sqrt{3}} \).

Мы знаем, что \( \text{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3} \).

Таким образом, \( \sqrt{3} = \frac{AC}{18\sqrt{3}} \).

Отсюда найдём длину катета AC: \( AC = \sqrt{3} \cdot 18\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54 \) см.

Наконец, найдём длину отрезка AD. Отрезок AC состоит из отрезков AD и DC: \( AC = AD + DC \).

Подставим известные значения: \( 54 = AD + 18 \).

Вычислим AD: \( AD = 54 - 18 = 36 \) см.

Ответ: AD = 36 см.