4. Легковой автомобиль едет со скоростью 90 км/ч, впереди в том же направлении — мотоцикл со скоростью 54 км/ч. Начальное расстояние между ними — 18 км. Через сколько времени автомобиль догонит мотоцикл? Решите аналитически, затем постройте графики зависимости координаты от времени для обоих тел и покажите точку встречи.

Дано:

• скорость автомобиля: 90 км/ч;
• скорость мотоцикла: 54 км/ч;
• начальное расстояние между ними: 18 км.

Выберем начало координат в точке нахождения автомобиля в начальный момент времени. Тогда координаты тел зависят от времени так:

\[x_1(t)=90t\]

\[x_2(t)=18+54t\]

где \(t\) — время в часах, а координаты выражены в километрах.

В момент встречи координаты равны:

\[90t=18+54t\]

\[90t-54t=18\]

\[36t=18\]

\[t=0.5\text{ ч}\]

Переведём время в минуты:

\[0.5\cdot60=30\text{ мин}\]

Координата точки встречи:

\[x=90\cdot0.5=45\text{ км}\]

Проверка для мотоцикла:

\[x=18+54\cdot0.5=18+27=45\text{ км}\]

Графики являются прямыми \(x_1(t)=90t\) и \(x_2(t)=18+54t\). Они пересекаются в точке встречи \(M(0.5;45)\).

Ответ: автомобиль догонит мотоцикл через 0.5 ч, то есть через 30 минут, в точке с координатой 45 км.