4. Корень из дроби. Упрости выражение \( \sqrt{\frac{27m^7}{25n^6}} \), зная, что \( m > 0, n > 0 \). (Многочлен в числителе запиши в стандартном виде.)

Решение:

Чтобы упростить выражение с корнем из дроби, воспользуемся свойствами корней и степеней:

1. Представим числитель и знаменатель под корнем как отдельные множители, используя свойства степеней \( a^{m
   \cdot p} = (a^m)^p \):

\( \sqrt{\frac{27m^7}{25n^6}} = \sqrt{\frac{27 \cdot m^6
\cdot m}{25
\cdot (n^3)^2}} \)

2. Вынесем из-под корня множители, которые являются полными квадратами (или кубами, если корень кубический, и так далее). Здесь у нас квадратный корень, поэтому ищем квадраты.

\( \sqrt{\frac{27m^7}{25n^6}} = \frac{\sqrt{27m^7}}{\sqrt{25n^6}} = \frac{\sqrt{9
\cdot 3
\cdot m^6
\cdot m}}{\sqrt{25
\cdot (n^3)^2}} \)

3. Извлечём корни из полных квадратов:

\( \sqrt{9} = 3 \), \( \sqrt{m^6} = m^3 \), \( \sqrt{25} = 5 \), \( \sqrt{(n^3)^2} = n^3 \)

4. Подставим полученные значения обратно в выражение:

\( \frac{3 m^3 \sqrt{3m}}{5 n^3} \)

5. Числитель \( 3m^3 \sqrt{3m} \) уже записан в стандартном виде, так как \( m \) находится под знаком корня и его степень не позволяет дальнейшего упрощения вне корня.

Ответ: \( \frac{3m^3\sqrt{3m}}{5n^3} \).