4. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 24°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Касательные к окружности в точках А и В пересекаются под углом 24°.
• О – центр окружности.

Найти: ∠ABO

Решение:

Пусть точка пересечения касательных будет точка К. Тогда ∠AKB = 24°.

Известно, что касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны (КА = КВ), и центр окружности лежит на биссектрисе угла между этими касательными. Также, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: ∠OAK = ∠OBK = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ОАКВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠AOB + ∠OAK + ∠AKB + ∠OBK = 360°

∠AOB + 90° + 24° + 90° = 360°

∠AOB + 204° = 360°

∠AOB = 360° - 204°

∠AOB = 156°

Теперь рассмотрим △OAB. Это равнобедренный треугольник, так как ОА = ОВ (радиусы).

Сумма углов в △OAB равна 180°.

∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°

Так как △OAB – равнобедренный, то ∠OAB = ∠OBA (или ∠ABO).

2 * ∠ABO + 156° = 180°

2 * ∠ABO = 180° - 156°

2 * ∠ABO = 24°

∠ABO = 24° / 2

∠ABO = 12°

Ответ: 12