4. Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK=∠FMK.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle EKC \) и \( \triangle FKC \).

Из условия задачи известно:

• \( EK = FK \)
• \( EC = FC \)
• \( KC \) — общая сторона.

Следовательно, \( \triangle EKC = \triangle FKC \) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

\( \angle ECK = \angle FCK \)

Теперь рассмотрим \( \triangle EMC \) и \( \triangle FMC \).

У нас есть:

• \( \angle ECK = \angle FCK \) (доказано выше).
• \( MC \) — общая сторона.
• \( EC = FC \) (по условию).

По второму признаку равенства треугольников (СУС, сторона и два прилежащих угла), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из этого следует, что \( \triangle EMC = \triangle FMC \).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

\( \angle EMC = \angle FMC \) или \( \angle EMK = \angle FMK \) (так как точки E, M, K лежат на одной прямой, и F, M, K лежат на одной прямой).

Ответ: Треугольники \( \triangle EKC \) и \( \triangle FKC \) равны по трём сторонам, следовательно, \( \angle ECK = \angle FCK \). Треугольники \( \triangle EMC \) и \( \triangle FMC \) равны по стороне и двум прилежащим углам, следовательно, \( \angle EMK = \angle FMK \).