4. Хорды АС и ВС окружности делят ее на дуги АС, ВС, АВ в отношении 3:5:10. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Общая сумма градусов в окружности равна 360°. Дуги АС, ВС, АВ относятся как 3:5:10. Обозначим коэффициент пропорциональности как \( x \). Тогда:

• Дуга АС = \( 3x \)
• Дуга ВС = \( 5x \)
• Дуга АВ = \( 10x \)

Сумма этих дуг равна полной окружности:

\[ 3x + 5x + 10x = 360° \]\[ 18x = 360° \]\[ x = \frac{360°}{18} = 20° \]

Теперь найдем величины дуг:

• Дуга АС = \( 3 \cdot 20° = 60° \)
• Дуга ВС = \( 5 \cdot 20° = 100° \)
• Дуга АВ = \( 10 \cdot 20° = 200° \)

Угол АСВ является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \text{Дуга AB} = \frac{1}{2} \cdot 200° = 100° \]

Ответ: 100.