4. Докажите равенство остроугольных треугольников по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Признак равенства треугольников: Два треугольника равны, если два угла и высота, проведенная из вершины третьего угла, одного треугольника соответственно равны двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла, другого треугольника.

Дано:

• Два остроугольных треугольника \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
• \( \angle A = \angle A_1 \)
• \( \angle B = \angle B_1 \)
• \( CH \) — высота \( \triangle ABC \) из вершины \( C \) на сторону \( AB \).
• \( C_1H_1 \) — высота \( \triangle A_1B_1C_1 \) из вершины \( C_1 \) на сторону \( A_1B_1 \).
• \( CH = C_1H_1 \)

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \)

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle CHB \) и \( \triangle C_1H_1B_1 \).
• \( \angle CHB = \angle C_1H_1B_1 = 90^{\circ} \) (по определению высоты).
• \( \angle B = \angle B_1 \) (по условию).
• \( CH = C_1H_1 \) (по условию).
• Следовательно, \( \triangle CHB = \triangle C_1H_1B_1 \) по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).
• Из равенства этих треугольников следует, что \( HB = H_1B_1 \) и \( \angle BCH = \angle B_1C_1H_1 \).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \( \triangle CHA \) и \( \triangle C_1H_1A_1 \).
• \( \angle CHA = \angle C_1H_1A_1 = 90^{\circ} \) (по определению высоты).
• \( \angle A = \angle A_1 \) (по условию).
• \( CH = C_1H_1 \) (по условию).
• Следовательно, \( \triangle CHA = \triangle C_1H_1A_1 \) по гипотенузе и острому углу (второй признак равенства прямоугольных треугольников).
• Из равенства этих треугольников следует, что \( HA = H_1A_1 \).
3. Теперь сложим длины отрезков:
• \( AB = HA + HB \)
• \( A_1B_1 = H_1A_1 + H_1B_1 \)
• Так как \( HA = H_1A_1 \) и \( HB = H_1B_1 \), то \( AB = A_1B_1 \).
4. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \).
• \( AB = A_1B_1 \) (доказано выше).
• \( \angle A = \angle A_1 \) (по условию).
• \( \angle B = \angle B_1 \) (по условию).
• Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \) по стороне и двум прилежащим углам (первый признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.