4. Докажите, что x-(7x+2)-(5x+2) :3 при любом целом х.

Решение:

Рассмотрим выражение \( x \cdot (7x+2) \cdot (5x+2) \).

Раскроем скобки:

\[ x \cdot (7x+2) \cdot (5x+2) = x \cdot (35x^2 + 14x + 10x + 4) = x \cdot (35x^2 + 24x + 4) = 35x^3 + 24x^2 + 4x \]

Теперь проверим делимость этого выражения на 3. Для этого рассмотрим остатки от деления на 3.

Любое целое число \( x \) может иметь остаток 0, 1 или 2 при делении на 3. Проверим каждый случай:

• Случай 1: \( x \equiv 0 \pmod{3} \).
• В этом случае \( 35x^3 + 24x^2 + 4x \equiv 35(0)^3 + 24(0)^2 + 4(0) \equiv 0 \pmod{3} \).
• Случай 2: \( x \equiv 1 \pmod{3} \).
• \( 35x^3 + 24x^2 + 4x \equiv 35(1)^3 + 24(1)^2 + 4(1) \equiv 35 + 24 + 4 \equiv 63 \equiv 0 \pmod{3} \).
• Случай 3: \( x \equiv 2 \pmod{3} \).
• \( 35x^3 + 24x^2 + 4x \equiv 35(2)^3 + 24(2)^2 + 4(2) \equiv 35(8) + 24(4) + 8 \equiv 280 + 96 + 8 \equiv 384 \u0002 \pmod{3} \).
• Так как \( 384 = 300 + 84 \), то \( 384 \) делится на 3. \( 384 \div 3 = 128 \).
• Таким образом, \( 35x^3 + 24x^2 + 4x \equiv 0 \pmod{3} \) для любого целого \( x \).

Доказано.