4. Докажите, что BM = BK. В октаэдре с центром О в точке О проведён перпендикуляр OB к плоскости треугольника ABC. BM = BK. Докажите, что MA = MK.

Решение:

1. Пусть дано, что OB перпендикулярен плоскости ABC.
2. BM = BK по условию.
3. Рассмотрим треугольники OBM и OBK.
4. Угол OBM = Угол OBK = 90° (так как OB перпендикулярен плоскости ABC).
5. OB — общая сторона.
6. Так как BM = BK (по условию) и OB — общий катет, то треугольники OBM и OBK равны по двум катетам (первый признак равенства прямоугольных треугольников).
7. Из равенства треугольников следует, что OM = OK.
8. Теперь рассмотрим треугольники AMB и AMK.
9. AB = AK (по условию), BM = BK (по условию), AM — общая сторона.
10. Следовательно, треугольники AMB и AMK равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
11. Из равенства треугольников следует, что MA = MK.

Что и требовалось доказать.