4. Дано: \( \angle DBC = 90^{\circ}, \angle BDC = 60^{\circ}, BD = 4 \) см (рис. 5.92). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка BC? б) Найдите длину медианы BE.

Решение:

а) Найдём длину отрезка BC.

В прямоугольном \( \triangle BDC \) (так как \( \angle DBC = 90^{\circ} \)) катет \( BC \) лежит против угла \( \angle BDC = 60^{\circ} \).

Используем теорему синусов:

\( \frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)} \)

Сначала найдём \( \angle BCD \):

\( \angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Теперь подставим значения:

\( \frac{BC}{\sin(60^{\circ})} = \frac{4}{\sin(30^{\circ})} \)

\( BC = \frac{4 \cdot \sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \sqrt{3} \) см.

Значение \( \sqrt{3} \) примерно равно \( 1.732 \).

\( BC \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928 \) см.

Длина отрезка \( BC \) заключена между целыми числами 6 и 7.

Ответ а): Длина отрезка BC заключена между 6 и 7.

б) Найдите длину медианы BE.

Медиана \( BE \) в прямоугольном \( \triangle BDC \) соединяет вершину прямого угла \( B \) с серединой гипотенузы \( DC \).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Сначала найдём длину гипотенузы \( DC \):

\( \cos(\angle BDC) = \frac{BD}{DC} \)

\( \cos(60^{\circ}) = \frac{4}{DC} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{4}{DC} \)

\( DC = 4 \cdot 2 = 8 \) см.

Теперь найдём длину медианы \( BE \):

\( BE = \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \) см.

Ответ б): Длина медианы BE равна 4 см.