4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 19 см. Сторона CD равна 26 см. Найди среднюю линию трапеции.

Решение:

Для прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, справедливо свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. Также, высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Дано:

• \( \text{Радиус окружности } r = 19 \text{ см} \)
• \( CD = 26 \text{ см} \)
• \( \angle A = 90^{\circ} \)

Найдём среднюю линию трапеции \( m \).

1. Высота трапеции \( h = 2r = 2 \times 19 = 38 \text{ см} \). В прямоугольной трапеции боковые стороны, перпендикулярные основаниям, равны высоте. Значит, \( AB = 38 \text{ см} \).
2. Так как трапеция прямоугольная, \( \angle A = \angle B = 90^{\circ} \).
3. По свойству четырёхугольника, описанного около окружности: \( AB + CD = AD + BC \).
4. Подставим известные значения: \( 38 + 26 = AD + BC \)
5. \( AD + BC = 64 \text{ см} \).
6. Средняя линия трапеции \( m \) вычисляется по формуле: \( m = \frac{AD + BC}{2} \).
7. \( m = \frac{64}{2} = 32 \text{ см} \).

Ответ: Средняя линия трапеции равна 32 см.