4. Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность радиусом 5 см. Сторона CD равна 13 см. Найти среднюю линию трапеции.

Решение:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, касается всех ее сторон. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, которая в данном случае совпадает с боковой стороной, перпендикулярной основаниям (AB).

• Высота трапеции (h) = 2 * радиус = 2 * 5 см = 10 см.
• Так как трапеция прямоугольная, то одна из боковых сторон (AB) равна высоте. Значит, AB = 10 см.
• Обозначим основания трапеции как AD (a) и BC (b).
• В трапеции ABCD, где ∠A = 90°, проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Тогда ABCH будет прямоугольником, и AH = BC = b, BH = AB = 10 см.
• CD = 13 см (дано).
• В прямоугольном треугольнике BHD: BD² = BH² + HD².
• HD = AD - AH = a - b.
• CD = 13 см.
• Для трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: AD + BC = AB + CD.
• a + b = 10 + 13
• a + b = 23 см.
• Средняя линия трапеции (m) равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2.
• m = 23 / 2 = 11.5 см.

Ответ: 11.5 см