4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 34°, ∠ABD=42° и ∠BDC=52°. Найдите углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180°.

1. Найдём углы четырёхугольника:

• \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 42^{\circ} + 34^{\circ} = 76^{\circ} \).
• \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).
• Найдём \( \angle ADB \): \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на дугу AB. \( \angle CDB = 52^{\circ} \) опирается на дугу CB.
• Углы, опирающиеся на одну дугу:
• \( \angle ADB \) и \( \angle ACB \) опираются на дугу AB.
• \( \angle BAC \) и \( \angle BDC = 52^{\circ} \) опираются на дугу BC.
• \( \angle CAD \) и \( \angle CBD = 34^{\circ} \) опираются на дугу CD.
• \( \angle ABD = 42^{\circ} \) и \( \angle ACD \) опираются на дугу AD.
• Рассмотрим \( \triangle ABD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB \).
• Рассмотрим \( \triangle BCD \): \( \angle BCD = 180^{\circ} - \angle CBD - \angle BDC = 180^{\circ} - 34^{\circ} - 52^{\circ} = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).
• Найдём \( \angle BAD \): \( \angle BAD = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ} \).
• Найдём \( \angle ADB \) из \( \triangle ABD \): \( \angle ADB = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle BAD = 180^{\circ} - 42^{\circ} - 86^{\circ} = 180^{\circ} - 128^{\circ} = 52^{\circ} \).
• Найдём \( \angle ADC \): \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 52^{\circ} + 52^{\circ} = 104^{\circ} \).
• Проверка: \( \angle ABC + \angle ADC = 76^{\circ} + 104^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы четырёхугольника: \( \angle ABC = 76^{\circ} \), \( \angle ADC = 104^{\circ} \), \( \angle BCD = 94^{\circ} \), \( \angle BAD = 86^{\circ} \).