4. Четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметра АС. Найдите углы четырехугольника, если дуга BC=100°, дуга СД=60°.

Решение:

Так как четырехугольник АВСД вписан в окружность диаметром АС, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \) и \( \angle ADC = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).

Дуга ВС = 100°, Дуга СД = 60°.

Дуга АВ = \( 360^{\circ} - 100^{\circ} - 60^{\circ} - \text{дуга } AD \).

Угол \( \angle CAD \) опирается на дугу CD, значит, \( \angle CAD = \frac{1}{2} \text{дуга } CD = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) опирается на дугу BC, значит, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot 100^{\circ} = 50^{\circ} \).

Угол \( \angle BCD \) состоит из углов \( \angle BCA \) и \( \angle ACD \).

Угол \( \angle BCA \) опирается на дугу AB. Нам нужно найти дугу AB.

Угол \( \angle ACD \) опирается на дугу AD.

Найдем дугу AD. Сумма углов \( \angle CAD + \angle BAC = 30^{\circ} + 50^{\circ} = 80^{\circ} \). Этот угол \( \angle BAD \) является вписанным и опирается на дугу BCD. Но AC - диаметр, значит \( \angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \). \( \angle ABC = \angle BAC + \angle BCA \).

\( 90^{\circ} = 50^{\circ} + \angle BCA \) \(\Rightarrow\) \( \angle BCA = 40^{\circ} \).

Угол \( \angle BCA \) опирается на дугу AB, значит, дуга AB = \( 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Угол \( \angle ADC = 90^{\circ} \). \( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC \).

Угол \( \angle ADB \) опирается на дугу AB, значит, \( \angle ADB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 80^{\circ} = 40^{\circ} \).

\( 90^{\circ} = 40^{\circ} + \angle BDC \) \(\Rightarrow\) \( \angle BDC = 50^{\circ} \).

Угол \( \angle BDC \) опирается на дугу BC, значит, дуга BC = \( 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ} \) (что совпадает с условием).

Теперь найдем \( \angle BCD \).

\( \angle BCD \) опирается на дугу BAD. Дуга BAD = дуга BA + дуга AD. Нам нужно найти дугу AD.

Сумма дуг в окружности = 360°.

Дуга AD = \( 360^{\circ} - \text{дуга } AB - \text{дуга } BC - \text{дуга } CD = 360^{\circ} - 80^{\circ} - 100^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Угол \( \angle BCD = \frac{1}{2} \text{дуга } BAD = \frac{1}{2} (\text{дуга } BA + \text{дуга } AD) = \frac{1}{2} (80^{\circ} + 120^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 200^{\circ} = 100^{\circ} \).

Проверим сумму углов четырёхугольника: \( 90^{\circ} + 90^{\circ} + 100^{\circ} + \angle DAB = 360^{\circ} \).

Угол \( \angle DAB = \frac{1}{2} \text{дуга } BCD = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC + \text{дуга } CD) = \frac{1}{2} (100^{\circ} + 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 160^{\circ} = 80^{\circ} \).

\( 90^{\circ} + 90^{\circ} + 100^{\circ} + 80^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: \( \angle ABC = 90^{\circ}, \angle ADC = 90^{\circ}, \angle BCD = 100^{\circ}, \angle DAB = 80^{\circ} \).