4. Через точку, которая делит высоту пирамиды в отношении 2 : 3, проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения на 10 кв. см меньше основания. Найти площадь сечения.

Решение:

• \[ \text{Пусть } h \text{ - высота пирамиды, } S_{осн} \text{ - площадь основания, } S_{сеч} \text{ - площадь сечения.} \]
• \[ \text{Точка делит высоту в отношении } 2:3. \text{ Это значит, что высота меньшей пирамиды (от вершины до сечения) равна } \frac{2}{5}h, \text{ а высота большей пирамиды (от сечения до основания) равна } \frac{3}{5}h. \text{ Таким образом, коэффициент подобия } k = \frac{2}{5}. \text{ (В данном контексте, можно считать, что точка делит высоту от вершины, поэтому отношение высот сечения и основания равно } \frac{2}{5} \text{).}} \]
• \[ \text{Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: } \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 \]
• \[ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} \]
• \[ \text{По условию, площадь сечения на 10 кв. см меньше основания: } S_{осн} - S_{сеч} = 10 \text{ см}^2 \text{, или } S_{осн} = S_{сеч} + 10. \text{ Или, если считать, что основание на 10 кв. см больше сечения: } S_{осн} = S_{сеч} + 10 \text{ см}^2 \text{.} \]
• \[ \text{Подставим } S_{осн} = S_{сеч} + 10 \text{ в уравнение подобия:} \\ \frac{S_{сеч}}{S_{сеч} + 10} = \frac{4}{25} \]
• \[ 25 S_{сеч} = 4 (S_{сеч} + 10) \\ 25 S_{сеч} = 4 S_{сеч} + 40 \\ 21 S_{сеч} = 40 \\ S_{сеч} = \frac{40}{21} \text{ см}^2 \text{.} \]
• \[ \text{Найдём площадь основания:} \\ S_{осн} = S_{сеч} + 10 = \frac{40}{21} + 10 = \frac{40 + 210}{21} = \frac{250}{21} \text{ см}^2 \text{.} \]
• \[ \text{Проверка:} \\ \frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \frac{40/21}{250/21} = \frac{40}{250} = \frac{4}{25}. \text{ Верно.} \]

Ответ: Площадь сечения равна $40/21$ кв. см.