4. АВ и АС - отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Задание 4. Касательные к окружности

Дано:

• Отрезки AB и AC — касательные к окружности.
• Радиус окружности: \( r = 9 \) см.
• Длина отрезка AB: \( AB = 12 \) см.

Найти: длину отрезка AC и длину отрезка AO.

Решение:

1. Свойство касательных: Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Следовательно, \( AC = AB \).
2. Так как \( AB = 12 \) см, то \( AC = 12 \) см.
3. Свойство касательной и радиуса: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Точка O — центр окружности, точка A — точка касания. Треугольник OAB — прямоугольный с прямым углом \( \angle OAB = 90^\circ \).
4. Применение теоремы Пифагора: В прямоугольном треугольнике OAB катетами являются радиус OA и касательная AB, а гипотенузой — отрезок AO.
5. Находим AO: \( AO^2 = OA^2 + AB^2 \)
6. По условию, OA — это радиус окружности, значит, \( OA = 9 \) см.
7. Подставляем значения: \( AO^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \)
8. Находим AO: \( AO = \sqrt{225} = 15 \) см.

Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см.