4) △ ABC AC = BC AH ⊥ BC cos B = 0,6 AB = 30 AH = ?

Решение:

Дано: △ ABC, AC = BC, AH ⊥ BC, cos B = 0,6, AB = 30. Найти: AH.

1. Так как AC = BC, треугольник ABC — равнобедренный.
2. В прямоугольном треугольнике ABH (угол AHB = 90°), мы знаем гипотенузу AB = 30 и косинус угла B.
3. Используем определение косинуса: \( \cos B = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза} \). В треугольнике ABH прилежащий катет к углу B — это BH, а гипотенуза — AB.
4. \( \cos B = \frac{BH}{AB} \)
5. Подставим известные значения: \( 0,6 = \frac{BH}{30} \)
6. Найдем BH: \( BH = 0,6 \times 30 = 18 \)
7. В равнобедренном треугольнике ABC высота AH, проведенная к основанию AB, также является медианой. Значит, точка H делит AB пополам.
8. \( AH = HB = \frac{AB}{2} \)
9. \( AH = \frac{30}{2} = 15 \)
10. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHB. По теореме Пифагора: \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)
11. Подставим известные значения: \( AH^2 + 18^2 = 30^2 \)
12. \( AH^2 + 324 = 900 \)
13. \( AH^2 = 900 - 324 = 576 \)
14. \( AH = \sqrt{576} = 24 \)

Ответ: AH = 24.