4.65. К концам рычага, находящегося в равновесии, подвешены одинаковые грузы: два к левому, и три к правому (см. рисунок). Если к ним подвесить еще по одному грузу, то для равновесия придется сместить точку подвеса на 1 см. Какова длина рычага?

Краткое пояснение:

Эта задача решается с помощью уравнения моментов. Изначально рычаг находится в равновесии. После добавления грузов равновесие нарушается, и для его восстановления точку опоры смещают. Мы можем составить два уравнения моментов, соответствующих двум состояниям рычага, и решить систему уравнений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим длину рычага как L. Пусть начальное положение точки опоры будет x₁ от левого конца. На левом конце подвешены 2 одинаковых груза (пусть каждый имеет массу m), на правом — 3 груза (3m). Так как рычаг в равновесии, моменты сил равны:

2m * x₁ = 3m * (L - x₁)

Сократим m:

2x₁ = 3(L - x₁)

2x₁ = 3L - 3x₁

5x₁ = 3L

x₁ = 3L / 5

3m * x₂ = 4m * (L - x₂)

Сократим m:

3x₂ = 4(L - x₂)

3x₂ = 4L - 4x₂

7x₂ = 4L

7(x₁ - 1) = 4L

Теперь подставим выражение для x₁ из Шага 1 (x₁ = 3L/5):

7(3L/5 - 1) = 4L

21L/5 - 7 = 4L

Перенесем все члены с L в одну сторону:

21L/5 - 4L = 7

Приведем к общему знаменателю:

21L/5 - 20L/5 = 7

L/5 = 7

L = 7 * 5

L = 35 см

Ответ: 35 см