№ 4 (6 баллов) Решите уравнения и неравенства a) 3^x+4 = 81 б) log7(x + 9) = 2 в) 5^2x - 3 * 5^x + 2 = 0 г) 36^(4-x) <= 1/36 д) log7(x - 4) > 2

Решение:

1. а) Решим уравнение:
   \( 3^{x+4} = 81 \)
   Представим 81 как степень тройки: \( 81 = 3^4 \).
   \( 3^{x+4} = 3^4 \)
   Приравниваем показатели степеней: \( x+4 = 4 \)
   \( x = 4 - 4 \)
   \( x = 0 \)
2. б) Решим уравнение:
   \( \log_7(x+9) = 2 \)
   По определению логарифма: \( x+9 = 7^2 \)
   \( x+9 = 49 \)
   \( x = 49 - 9 \)
   \( x = 40 \)
   Проверим область допустимых значений: \( x+9 > 0 \Rightarrow 40+9 > 0 \Rightarrow 49 > 0 \) (верно).
3. в) Решим уравнение:
   \( 5^{2x} - 3 · 5^x + 2 = 0 \)
   Сделаем замену: пусть \( y = 5^x \). Тогда \( y^2 = (5^x)^2 = 5^{2x} \).
   \( y^2 - 3y + 2 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение для \( y \):
   \( D = (-3)^2 - 4 · 1 · 2 = 9 - 8 = 1 \)
   \( y_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
   \( y_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \)
   Теперь вернёмся к замене:
   1) \( 5^x = 2 \) \( \rightarrow x = \log_5 2 \)
   2) \( 5^x = 1 \) \( \rightarrow x = 0 \)
4. г) Решим неравенство:
   \( 36^{4-x} ≤ \frac{1}{36} \)
   Представим \( \frac{1}{36} \) как степень 36: \( \frac{1}{36} = 36^{-1} \).
   \( 36^{4-x} ≤ 36^{-1} \)
   Так как основание степени \( 36 > 1 \), приравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:
   \( 4-x ≤ -1 \)
   \( -x ≤ -1 - 4 \)
   \( -x ≤ -5 \)
   Умножаем обе части на -1 и меняем знак неравенства:
   \( x ≥ 5 \)
5. д) Решим неравенство:
   \( \log_7(x-4) > 2 \)
   Область допустимых значений: \( x-4 > 0 \rightarrow x > 4 \).
   Преобразуем правую часть как логарифм:
   \( 2 = \log_7 7^2 = \log_7 49 \).
   \( \log_7(x-4) > \log_7 49 \)
   Так как основание логарифма \( 7 > 1 \), приравниваем аргументы, сохраняя знак неравенства:
   \( x-4 > 49 \)
   \( x > 49 + 4 \)
   \( x > 53 \)
   Учитывая область допустимых значений \( x > 4 \), получаем \( x > 53 \).

Ответ: а) x = 0; б) x = 40; в) x = 0, x = log₅2; г) x ≥ 5; д) x > 53.