4.50. На рис. 4.21 треугольники АВС и А₁ВС₁ прямоугольные равнобедренные, АА₁ = 6 см. Чему равно СС₁?

Решение:

По условию, \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1BC_1 \) — прямоугольные равнобедренные треугольники. Это означает, что:

• \( \angle BAC = \angle BCA = \angle BA_1C_1 = \angle BC_1A_1 = 90^ \)
• \( AB = BC \) и \( A_1B = B C_1 \)

Из рисунка 4.21 видно, что \( \angle ABA_1 \) и \( \angle C_1BC \) являются вертикальными углами, поэтому \( \angle ABA_1 = \angle C_1BC \).

Рассмотрим \( \triangle ABA_1 \) и \( \triangle C_1BC \). Мы имеем:

• \( AB = CB \) (так как \( \triangle ABC \) равнобедренный)
• \( BA_1 = BC_1 \) (так как \( \triangle A_1BC_1 \) равнобедренный)
• \( \angle ABA_1 = \angle C_1BC \) (вертикальные углы)

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABA_1 = \triangle C_1BC \).

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны. В частности, \( AA_1 = CC_1 \).

По условию, \( AA_1 = 6 \) см.

Значит, \( CC_1 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.