4.46. Докажите, что \(\sqrt{mn}\) — иррациональное число, если \(\sqrt{\frac{m}{n}}\) — иррациональное число \((m,n\in\mathbb N)\). Верно ли обратное утверждение?

Так как \(m,n\in\mathbb N\), то \(n>0\). Преобразуем:

\[\sqrt{mn}=\sqrt{n^2\cdot\frac{m}{n}}=n\sqrt{\frac{m}{n}}.\]

Предположим, что \(\sqrt{mn}\) — рациональное число. Тогда

\[\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{mn}}{n}\]

также является рациональным числом, поскольку частное рационального числа и натурального числа рационально. Это противоречит условию. Следовательно, \(\sqrt{mn}\) — иррациональное число.

Обратное утверждение также верно. Действительно, из равенства

\[\sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{mn}}{n}\]

следует: если \(\sqrt{mn}\) иррационально, то \(\sqrt{\frac{m}{n}}\) не может быть рациональным, так как произведение рационального числа \(\frac1n\) на рациональное число было бы рациональным.

Ответ: обратное утверждение верно; числа \(\sqrt{mn}\) и \(\sqrt{\frac{m}{n}}\) либо оба рациональны, либо оба иррациональны.