4. (4 балла) Дана правильная треугольная призма. Выясните взаимное расположение: 1. АВ и С₁С; 2. СС₁ и (АВС); 3. (АВС) и (А₁В₁С₁) 4. Вычислите объём призмы, если площадь основания равна 24 см², а боковое ребро-7см.

Решение:

1. Взаимное расположение прямой AB и прямой C₁C:

В правильной треугольной призме боковые рёбра параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям. Основания призмы — правильные треугольники. Прямая AB является стороной нижнего основания, а прямая C₁C — боковым ребром. Так как боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания. Следовательно, прямая AB перпендикулярна прямой C₁C.

2. Взаимное расположение прямой CC₁ и плоскости (ABC):

По определению, боковое ребро правильной призмы перпендикулярно плоскостям обоих оснований. Плоскость (ABC) является нижним основанием призмы. Следовательно, прямая CC₁ перпендикулярна плоскости (ABC).

3. Взаимное расположение плоскости (ABC) и плоскости (A₁B₁C₁):

Плоскости (ABC) и (A₁B₁C₁) являются основаниями призмы. По определению призмы, её основания параллельны. Следовательно, плоскость (ABC) параллельна плоскости (A₁B₁C₁).

4. Вычисление объёма призмы:

Площадь основания призмы \( S_{осн} = 24 \) см².

Высота призмы (боковое ребро) \( h = 7 \) см.

Объём призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} × h \).

\[ V = 24 \text{ см}^2 \times 7 \text{ см} = 168 \text{ см}^3 \]

Ответ:

1. Прямые AB и C₁C перпендикулярны.

2. Прямая CC₁ перпендикулярна плоскости (ABC).

3. Плоскость (ABC) параллельна плоскости (A₁B₁C₁).

4. Объём призмы равен 168 см³.