4√3 cos³x = cos(2x + π/2)

Решение:

Данное уравнение: \( 4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos(2x + \frac{\pi}{2}) \)

Используем тригонометрическое тождество: \( \cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\sin(\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = 2x \), поэтому \( \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x) \).

Также используем формулу для понижения степени куба косинуса: \( \cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos(3x)}{4} \).

Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:

\[ 4\sqrt{3} \cdot \frac{3\cos x + \cos(3x)}{4} = -\sin(2x) \]

\[ \sqrt{3} (3\cos x + \cos(3x)) = -\sin(2x) \]

Это уравнение является достаточно сложным для решения в общем виде. Часто подобные задачи решаются с помощью численных методов или предполагают поиск частных решений, которые могут быть не очевидны без дополнительных условий или контекста.

Примечание: Данное уравнение, вероятно, требует более продвинутых методов решения или имеет специфический контекст (например, поиск корней в определенном интервале), которые не представлены в условии.