4. (3 балла) Представить выражение \(\frac{8^5\cdot\sqrt{3^{12}}}{5\cdot5^5}\) в виде \(a^3\cdot b\). Объяснить ответ.

Преобразуем выражение:

\[\frac{8^5\cdot\sqrt{3^{12}}}{5\cdot5^5}=\frac{(2^3)^5\cdot3^6}{5^6}=\frac{2^{15}\cdot3^6}{5^6}.\]

Выделим полный куб:

\[\frac{2^{15}\cdot3^6}{5^6}=\left(\frac{2^5\cdot3^2}{5^2}\right)^3=\left(\frac{32\cdot9}{25}\right)^3=\left(\frac{288}{25}\right)^3.\]

Следовательно, выражение имеет вид \(a^3\cdot b\), где \(a=\frac{288}{25}\), \(b=1\).

Ответ: \(\left(\frac{288}{25}\right)^3\cdot1\); \(a=\frac{288}{25}\), \(b=1\).